domingo, 25 de septiembre de 2011

FACTORIZACIÒN


En àlgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en numeros primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugado (a - b)(a + b).
La factorizaciòn de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmetica y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
.
BINOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES 

(ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd
Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:
ac x2+ (ad + bc) x+ bd
ab
cd
Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: por por bvemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.
Ejemplo 2
Factorizar 6 x2 + 13 x + 6
6 x2+ 13 x+ 6
32
23
Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son y como la suma es 13que es el término de enmedio el resultado es
(3x + 2) (2x + 3)
Vemos que acomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:
6 x2+ 13 x+ 6
33
22
El resultado de la suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.

Ejemplo 3:
Factorizar 5 x2 - 7 x - 6
5 x2- 7 x- 6
5+3
1−2
Vemos que colocando los factores de y de −6 de esta forma los productos cruzados son −10 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es
(5x + 3) (x - 2)
Ejemplo 4:
Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6
9a2 — l2ab3+ 4b6
3a−2b3
3a−2b3
Vemos que colocando los factores de y de −2 de esta forma los productos cruzados son −6 −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es
(3a - 2b3)(3a - 2b3)
(3a - 2b3)2

Productos Notables


Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorizaciòn. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

PREGUNTASRESPUESTAS
01(x + 5)2=x2 + 10x + 25
02(7a + b)2=49a2 + 14ab + b2
03(4ab2 + 6xy3)2=16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6
04(xa+1 + yb-2)2=x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4
05(8 - a)2=64 - 16a + a2
06(3x4 -5y2)2=9x8 - 30x4y2 + 25y4
07(xa+1 - 4xa-2)2=x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
08(5a + 10b)(5a - 10b)=25a2 - 100b2
09(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)=49x4 - 144y6
10(x + 4)3=x3 + 12x2 + 48x + 64
11(5x + 2y)3=125x+ 150x2y + 60xy2 + 8y3
12(2x2y + 4m)3=18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3
13(1 - 4y)3=1 - 12y + 48y2 -64y3
14(3a3 - 7xy4)3=27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12
15(2xa+4 - 8ya-1)3=8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3
16(x + 5)(x + 3)=x2 + 8x + 15
17(a + 9)(a - 6)=a2 + 3a - 54
18(y - 12)(y - 7)=y2 - 19y + 84
19(4x3 + 15)(4x3 + 5)=16x6 + 80x3 + 75
20(5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)=25y2a+2 - 50ya+1 - 56

leyes de los logaritmos

Leyes de los logaritmos:


Los logaritmos son importantes en las matemáticas financieras debido
a que una gran cantidad de ecuaciones que manejan interés en varios
periodos se componen de exponentes, los cuales para manipularlos, en
ocasiones se requieren de logaritmos.
El logaritmo es una función matemática inversa de una función
exponencial o con exponente.
Para la expresión:
n
a b =
Esta expresión puede significar la igualdad de diferentes números
elevados a un exponente “n”, es decir:
2
4 2 =    
3
8 2 =  
2
16 4 =    
4
16 2 =
2
25 5 =
Ahora para cada caso si nos fijamos en la estructura de la función
exponencial, podemos identificar cuanto vale “a”, “b” y “n”:
2
4 2 =    
3
8 2 =  
2
16 4 =    
4
16 2 =
2
25 5 =
n
a b =    
n
a b =
n
a b =
n
a b =      
n
a b =
Cada una de estas estructuras puede colocarse en una forma especial
conocida como “logaritmo” de la siguiente manera:
FORMA EXPONENCIAL:                
n
a b =
FORMA LOGARÍTMICA:           
log
b
a n
http://www.youtube.com/watch?v=_z-m5sjPICY

Multiplicaciòn y Divisiòn de fracciones


En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:
   Ejemplo: 2  · 3    =  6  =  2 · 3 _  =   1
                   3    4       12      3 · 2 ·2      2
                                               ^ Factorización Prima y simplificación
 


División de Fracciones
 

    En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
 

Ejemplo:
 

          3  ÷   4   =  3  · 3   =  9
          5       3        5     4      20
 

Ejemplo:
    3  ÷  1   =  3 · 2   =  6
    7      2       7   1        7
 
 



Fórmulas para recordar






            a + b  =  a + b           Suma  de Fracciones homogéneas
             c    c          c
 

            a + b  =   ad + bc      Suma de Fracciones heterogéneas
             c    d           cd
 

             a - b  =  a - b           Resta  de Fracciones homogéneas
              c   c         c
 

            a - b  =   ad - bc        Resta  de Fracciones heterogéneas
            c    d          cd

            a · b   =  ab               Multiplicación de Fracciones
             c   d       cd

            a  ÷ b   =  a · d  = ad    División de Fracciones
            c     d       c    b     cb 

 
 

SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES


Objetivo:
  • Suma y resta de fracciones
  • Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
                    
        +   c   =       ad + bc     (se multiplica cruzado y los productos de suman)
      b        d                bd        (se multiplican los denominadores)
Veamos un ejemplo:
             El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?


     
1   +     =    1(3) + 4(1)  3  + 4   =  7
4        3                (4)(3)           12          12
              

          
 Solución:   Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones
     a.   Si       a = c    entonces  ad = cb
                      b    d
     b.  Si          a < c    entonces  ad < cb
                      b    d
    c. Si         a > c    entonces  ad > cb
                    b    d

 

Volviendo a Cheo,   ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
             7   ?              7(2)  >   12(1), por lo  tanto     7   >  1
           12      2                                                            12      2
De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales  que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?
Solución
2  = 1(5) + 3(2) 5  + 6  11
3    5            15                15       15
A María le tocó  11/ 15 de la herencia de su padre.


Suma de Fracciones B
 

 Para sumar dos fracciones, hay  que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
 1. Fracciones homogéneas    (  13)
                                                    4  4  4
 2. Fracciones heterogeneas  (  12)
                                                    3  5  7

 Las fracciones homogéneas son las fracciones  que tienen el mismo  denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
 

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
   1 +  3  =  4  <Son fracciones homogéneas ya que
   5     5      5       tienen el mismo denominador. Las
                         fracciones  homogéneas, en suma, se
                        suman los numeradores y el
                        denominador se queda igual.>
 

2  + 3   = 5
7     7       7

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
 

 1 +1
 4   2                     <Aquí es diferente, las fracciones son
                               heterogéneas; los denominadores son
                                diferentes.>
 

Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
 
 

 + 1
4     2

 Paso 1 :    + 1    =  ___           <Se multiplicaron los denominadores  4 · 2 = 8>
                   4     2          8

Paso 2 :   + 1   =  (2 ·1) + (4 · 1)   < Se multiplicó cruzado>
                  4     2                8
 
 

Paso 3:   2 + 4 =   6      < Se suman los productos para obtener el numerador.>
                    8          8

Paso 4:  6 ÷  2 =  3     < Se simplifica la fracción si es posible.>
                 8     2      4
 
 
 RESTA DE FRACCIONES:



Resta de Fracciones
    En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
 

Ejemplo 1:
 

          5 - 1  = 4         Resta de Fracciones Homogéneas
          9    9     9

Ejemplo 2:
          2 - 1  =  ( 2 · 2) - (3 · 1)  = 4 - 3   = 1 .
           3   2                 6                    6        6
  

Glosario

 DERIVADA: 
La derivada se representa como una funciòn que cambia (valor de la variable dependiente) a medida de su entrada (valor de la variable independiente) cambia.


DIFERENCIAL: 
Es el campo de la matematica posee varios significados en el campo de la matmatica llamada calculo, el diferencial presenta un cambio en la linearizaciòn de una funciòn.
Y = F ( X )   con respecto a cambios en la variable independiente.
El diferecial queda definido por la expresiòn dy = dy dx
                                                                           dx


INTEGRAL INDEFINIDA:
Es el conjunto de las infinitas primitivas que pueden tener una funciòn ejemplo:
Se representan por Sf ( x ) dx (se lee integral de equis diferencial de equis)
S es el signo de iintegraciòn F(x) es el integrado o una funcion a integrar .


FUNCIÓN PRIMITIVA:
Es aquella que después de haber sido derivada pasando su diferencial y por el proceso de integraciòn no vuelve exactamente a su función original.


ANTI-DERIVADA:
Es una funciòn F cuya derivada es f , es decir f 1 = f . 
Una condiciòn suficiente para que una funciòn f admita primitivas sobre un intervalo es que sea
continua en dicho intervalo.


LEY DE LOS EXPONENTES:

LEYES DE LOS EXPONENTES.
1) PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE.
am x an = am+n
2) EL COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE
Elévese la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.
am = am-n, x16 = x10
cx6
3) LA POTENCIA DE UNA POTENCIA
Elévese la base a una potencia igual al producto de dos exponentes.
(am) n = amn, (a5)2 = x3 . y3
4) LA POTENCIA DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES
Encuéntrese el producto de cada factor elevado a la enésima potencia
(ab)n = an . bn, (xy)3 = x3 . y3
5) LA POTENCIA DE COCIENTE DE DOS FACTORES
Encuéntrese el cociente de cada factor elevado a la enésima potencia.
a n = an, a 5 = a5


b b, b, b5

RADICALES:Es una expresiòn de la forma n (raìz cuadrada) de a, en la que n E N Y a E R; Con tal que cuando a sea negativo N a de ser impar.



LEYES DE LOGARITMOS:
Sea un número real  x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene  x ⋅ x . Si a este resultado se multiplica 
nuevamente por  x resulta  x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si  x se multiplica por si misma  n veces, se 
obtiene:     n veces x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x.
1 LEY:
El logaritmo de un producto de numèros es la suma de los logaritmos de los números.


2 LEY:
El logaritmos de un coeficiente de numeros es la diferencia de los logaritmos de los números.


3 LEY:
El logaritmo de una potencia de un numèro es el exponente multiplicado por el logaritmo del numèro


PRODUCTOS NOTABLES:
Son los que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspecciòn sus denominados también "identidades algebraicas" son aquellos productos cuyo resultado es clásico y por esto se le conoce fácilmente.


FACTORIZACIÒN:
Es expresar un objeto o numèro (por ejemplo un numero compuesto, una matriz o un polinomio  como productos de otros objetos mas pequeños (factores).