En àlgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en numeros primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugado (a - b)(a + b).
La factorizaciòn de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmetica y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
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BINOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES
(ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd
Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:
| ac x2 | + (ad + bc) x | + bd |
|---|---|---|
| a | b | |
| c | d |
Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: a por c y b por bvemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.
Ejemplo 2
Factorizar 6 x2 + 13 x + 6
| 6 x2 | + 13 x | + 6 |
|---|---|---|
| 3 | 2 | |
| 2 | 3 |
Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son 9 y 4 y como la suma es 13que es el término de enmedio el resultado es
| (3x + 2) (2x + 3) |
|---|
Vemos que acomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:
| 6 x2 | + 13 x | + 6 |
|---|---|---|
| 3 | 3 | |
| 2 | 2 |
El resultado de la suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.
Ejemplo 3:
Factorizar 5 x2 - 7 x - 6
| 5 x2 | - 7 x | - 6 |
|---|---|---|
| 5 | +3 | |
| 1 | −2 |
Vemos que colocando los factores de 5 y de −6 de esta forma los productos cruzados son −10 y 3 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es
| (5x + 3) (x - 2) |
|---|
Ejemplo 4:
Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6
| 9a2 — l2ab3 | + 4b6 | |
|---|---|---|
| 3a | −2b3 | |
| 3a | −2b3 |
Vemos que colocando los factores de 3 y de −2 de esta forma los productos cruzados son −6 y −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es
| (3a - 2b3)(3a - 2b3) |
|---|
| (3a - 2b3)2 |
|---|
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